Kategori: Fizik
Yayınlanma: 19 Şubat 2012 Gösterim: 3445
Yazdır

Var oluşundan beri, insanoğlunun doğa ile mücadelesi devam etmektedir. Mücadelede kimin ne kadar emeğinin olduğunu hesaplamaya yeltenmek yakışık almaz. Ancak doğanın kimi yönlerini anlamaya çalışmak öyle şeyler öne sürmüştür ki, bu savlar (düşünceler), insanoğlunun toplumsal yaşantısının şekillenmesinde önemli roller oynamıştır.

Bu yazıda, düşünce yapımıza yeni bir boyut kazandıran bir isimle, bana göre doğa bilimleri futbol takımının orta sahadaki dominosu olan Newton ile kendimce (hayali) bir söyleşi yapmaya çalıştım. Her ne kadar Einstein zamanda yolculuğu yasaklamış olsa da, konu Newton olunca Einstein için bile akan suların duracağına dair beklentimle devam ediyorum.

A = {a,b,c,ç,d,e,f} Görmüş olduğunuz harfler kümesinde, her harf sırasıyla Newton’un çocukluğu, gençliği, Royal Academy günleri, oradan ayrılışı ve oradaki tartışmalar, Sir unvanı alışı, darphane müdürlüğü gibi konuları simgelemektedir. Bu kümeyi söyleşiye dahil etmedim. A kümesi, Newton ile aramda kalsın. İsteyen yarım saat internet karıştırıp, A kümesinin bütün elemanları ile ilgili olarak doyurucu metinlere ulaşabilir. Bu çok kısa söyleşide, Newton ile onun hareket yasalarını, kendisinin de sevdiği basit ve basit olduğu kadar sağlam bir matematiksel dille (kendi çapımda) aktarmaya çalıştım.

 

Lazuri: Hocam siz şöyle bir başlayın, ben aralarda kafama takılanları size sorarak sohbete haddim olmayarak katılmaya çalışayım.

Newton: Olur genç adam. Öncelikle konuşma dilimizi belirleyelim. Bizim on yedinci asırda, bütün felsefe ve doğa bilimlerinin dili Öklid geometrisiydi. Birazcık bu geometriden bahsedeyim. Bu geometrinin belitleri (aksiyomları) var. Belit, kanıtlanmaya gerek duyulmayan, besbelli olan şeydir. Şimdi belitlere geçelim. Belit bir: Herhangi iki noktadan iki doğru geçer. Belit iki: Herhangi bir doğru parçası sonsuza kadar bir doğru olarak uzatılabilir. Belit üç: Bir doğru parçası verildiğinde, merkezi verilen doğru parçasının ucunda olan, yarıçapı ise verilen doğru parçası olan bir çember çizilebilir. Belit dört: Tüm dik açılar eşittir. Belit beş: Kısaca söyleyeyim, paralel doğrular asla kesişmezler. Elementler adlı başyapıtında Öklid, bu belitleri temel alarak, geometride kullandığımız teoremleri kanıtladı.

L: Bir teorem kanıtlayalım mı?

N: Sabırlı olmalısın. Daha konuşma dilimizi oluşturmadık. Neyse, gençlikte olur böyle şeyler. Nerede kalmıştık?

L: Belitlerin teoremleri kanıtladığını söylemiştik.

N: Tamam. Sonuç olarak doğada bir boyutun geometri olduğunu kabul ediyoruz.

L: Bu boyut kavramını tanımlayabilir misiniz?

N: Sağ, ön ve yukarı gibi üç farklı yöne üç boyut demekten öte, onları oluşturan uzunluğun kendisini boyut olarak kabul edeceğiz. Şimdi, uzunluk boyutumuzun anlaşıldığını varsayıyorum. İkinci bir boyutumuz daha var: Zaman. Benim zaman tanımım, kolundaki saatin sabit hızla turlamasıdır. Ustam Galileo’nun dönüşümleriyle örtüştüğü için bu tanımı geçerli sayıyorum. Bu tanım gözlemlerimizle örtüşmekte. Ayrıca, zaman kavramının tartışmalı bir konu olduğu bilinir. Bizim asırda Descartes, Spinoza, Leibniz ve daha birçok doğa filozofunun zaman kavramı üzerine değerli çalışmaları vardır. Şimdi, bu iki boyutu kullanarak yeni bir kavram oluşturalım: Hareket. Hareket kavramını ustam Galileo, “Diyaloglar” adlı kitabında en iyi şekliyle anlatmıştı. Bu kitabı muhakkak okuyun. Hareket kavramının işimize yarayacak bazı temel tanımlarını hatırlatmak istiyorum. Herhangi bir nesnenin bulunduğu noktanın belli bir referans noktasına göre durumuna konum, bu konumun zamana göre olan değişimine hız, hızın zamana göre değişimine de ivme diyeceğiz. Bir de bunları uzunluk (L) ve zaman (T) boyutlarımızla gösterelim. L konum, L bölü T hız, ve L bölü T’nin karesi ivme. Tekrarlamakta fayda var, hareket kavramlarımızı her zaman seçtiğimiz bir referans noktasına göre tanımlıyoruz. Galileo’dan başka bir usta isme geçelim: Kepler. Bu arada geçen sayınızı okudum, Kepler ve Galileo’yu konu etmişsiniz. Neyse, hareket konusuna geri dönelim. Şimdi içinden “Ne yapıyor bu adam?” diye soruyor olabilirsin, konuyu dağıttık, açıklayayım. Amacım, tamamıyla gözleme dayalı Kepler yasalarını matematiksel olarak kanıtlamak. Bunu nasıl yapacağız? İşte benim hayatımı adadığım sorulardan biri bu? Doğanın Matematiksel Prensipleri’ni bu amaçla yazdım. Matematikte kalkülüsü, analitik hesap yöntemini bu yüzden buldum: Harekete sebep olan kavramın bir nedeni var mıdır, varsa nedir?

L: Kuvvet kavramı mı?

N: Evet, kuvvet deyip geçmek çok kolay, ama kuvvetin doğanın işleyişindeki etkisinin eğilimini matematiksel bir biçimde ifade etmek o kadar da kolay değil. Ama kimse korkmasın; belirsiz limitler hesaplamayacak, saçma sapan türevler almayacak ve çözümsüz integral hesapları yapmacağız. Yapacaklarımız son derece temel şeyler, bu anlamda takibi son derece basittir. Yapacağımız hesaplarda, tanımlamadığımız hiçbir şeyi de kullanmayacağız.

L: Kepler yasalarını hatırlayarak başlayalım mı?

N: Yasaları da sen yaz.

L: Büyük bir onurla. Yasa bir: Yörüngeler yasası der ki, bütün gezegenler eliptik yörüngelerde güneşi de odaklayarak hareket ederler. Yasa iki: Eşit alanlar yasası der ki, her gezegen eşit zaman aralıklarında güneş etrafında eşit alanlar süpürür. Yasa üç: Periyotlar yasası der ki, herhangi bir gezegenin güneş etrafındaki bir turu tamamlama süresinin (periyodunun) karesi gezegenin güneşe ortalama uzaklığının küpüyle doğru orantılıdır.

N: Güzel, elipsin ne olduğunu da Şekil 1’de gösterelim. Kepler yasalarının doğasında, sadece uzunluk ve zamanla oluşturulabilecek kavramlar var. Dolayısıyla kuvvet kavramını içermiyorlar. Şimdi, kendi doğa yasalarımı vereceğim ve daha sonra Öklid belitlerini ve kendi yasalarımı kullanarak Kepler yasalarını kanıtlayacağız. Terzi kendi söküğünü dikemez ama kendi yasalarımı ben açıklayayım.

1. Eylemsizlik ilkesi: Herhangi bir cisim sabit hızla hareket ediyorsa ya da sabit durmaktaysa, cisim üzerine uygulanmakta olan net kuvvet sıfırdır.

2. Hızlanma ilkesi: Herhangi bir cisim üzerindeki net kuvvet sıfır değilse, cisim kuvvet doğrultusunda hızlanır.

3. Etki tepki ilkesi: Herhangi iki kuvvetin birbirlerine uyguladığı kuvvetler eşit büyüklükte, ters yönlerdedir.

L: Hızlanma ilkesini bizlere hep “kuvvet = kütle x ivme” diye öğretmişlerdi.

N: Hiçbir zaman hızlanma yasasını senin öğrendiğin şekliyle yazmadım. Benim bu yasamın denklemini olsa olsa “kuvvet x zaman değişimi = kütle x hız değişimi” olarak düşünebiliriz. Evet, denkliğin her iki tarafını zaman değişimine bölersek senin öğrendiğin denklemi elde ederiz, ama o zaman birazdan tanımlayacağım bir kavramı elde edemeyiz. Bu yüzden, o zaman değişimi orada kalsın.

L: Hareketin kuvvet etkisiyle oluşan yeni sistemini nasıl adlandırıyoruz?

N: Dinamik. Böylelikle, gerekli tanımları yapmış olduk. Kanıtlama zamanı geldi. Kepler’in birinci yasası gözleme dayalı bir doğru, kanıtlanacak bir şeyi yok. İkinci yasayı, eşit zamanda eşit alanlar taranır yasasını kanıtlayalım. Diyagram 1’e bakalım. G noktası güneşi D noktası da dünyayı temsil etsin. Eğer güneş ile dünya arasında bir etkileşim yoksa, yani net kuvvet sıfırsa, dünya sabit hızla hareketine devam edecektir. Konum değişiminin hız ile değişen zamanın çarpımına eşit olduğunu hareket konusundan bildiğimizden, DA uzunluğu AB uzunluğuna eşittir. Bir üçgenin alanının, taban uzunluğuyla o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısı olduğunu herkesin bildiğini kanıtlamadan kabullenelim. DA ve AB tabanlarına ait yükseklik aynı yükseklik olduğundan, üçgenlerin alanları eşit çıkar. İkinci yasayı, net kuvvetin sıfır olduğu koşulda kanıtlamış olduk. Ya net kuvvet sıfır değilse ne olur? Aynı diyagramı birazcık değiştirerek Diyagram 2 olarak çizelim. Bir varsayım yapalım. Kuvvetimiz periyodik olarak anlık etki etsin. Bir musluktan belli zaman aralıklarında yere suyun damlaması gibi. Bu durumda, o anlık kuvvet uygulanması anında, ikinci yasama göre cismin hareket yönü güneşe doğru yönelecektir. Sonuçta Diyagram 2’de yeni bir üçgen oluştu. Eğer elimizdeki bu iki üçgenin alanları eşitse kanıtımız tamamdır. DA ve DF hareket yön değişimlerini uç uca eklersek, Diyagram 2’deki iki doğrunun paralel olduğunu, DF’nin hiçbir şeyinin değiştirilmeden koyulmasından anlıyoruz. İki paralel doğru arasında sayılamaz sonsuzlukta eşit yükseklik olduğunu Öklid’in dördüncü beliti sayesinde biliyoruz. Sanırım herkes GDA ve GAB üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu görmüştür. Şimdi yasayı kanıtlamak için son hamlemizi yapalım. Kuvvetimizin uygulanma sıklığını çok ama çok küçültelim. Zaman aralıkları sıfıra yaklaştığında, kuvvetin artık bir sürekliliğe sahip olduğu ve yörüngenin elips olduğu görülmektedir. İkinci yasanın limit, türev, integral olmaksızın yapılmış kanıtı tamamdır kanımca.

L: Üçüncü yasanın ispatı için elipsin özel bir durumu olan çemberleri kullansak.

N: Doğru, işlemler kolay olur. Diyelim ki, güneş çemberin merkezinde sabit duruyor ve dünya da çemberin üzerinde hareket ediyor olsun. Hızlanma ilkemi (ikinci yasamı) daha önce bahsettiğim gibi “kuvvet x zaman değişimi = kütle x hız değişimi” olarak düşünelim. Bu denklikte kütleyi sabit kabul edersek, kuvvet ile hız değişiminin birlikte artıp azaldığını rahatça görebiliriz. Yan taraftaki hareket denkliklerini yandaki kutucuktaki gibi bir denklemde toplayarak, ters kare yasasını elde edebiliriz.

L: İşimiz bitti mi?

N: Aslında daha analitik, toplamda sadece bir paragraflık ve daha geniş bir analiz yapabilirdik. O zaman kalkülüs kullanmamız gerekirdi. Bizim asırda kalkülüs bilen yoktu. Kalkülüsü icat edip, bu yasaları analitik bir dille ilk olarak yazdığımda kimse ne yaptığımı anlamadı ve Principia’yı, anlaşılsın diye yine geometrik bir dille yazdım.

L: Gezegenlerin hareketlerini dinamik yasaları ve Öklid belitleri yardımıyla göstermiş olduk.

N: Evet, Kepler yasalarıyla ilgili söyleyebileceğimiz bazı sonuçları yazalım: Uzay boşluğunda dahi olsa cisimler birbirlerine karşı bir çekim uygularlar. Buna kütle çekimi kuvveti diyorum. Hatta burada bir evrensel çekim kuvvet sabiti vardır. Bunlar biraz analiz matematiği gerektirdiğinden yapmayacağım. Bir başka sonuç ise, benim ikinci yasamı senin söylediğin gibi “kuvvet = kütle x ivme” şekliyle yazıp bir önceki sonuçta yazdığımız kuvvetle denklersek, bir yıldızın ya da bir gezegenin kütlesini bulabiliriz.

L: Biraz daha açar mısınız?

N: Ay dünya etrafında döner, aradaki kütle çekimi kuvvetini yazalım: “G x M x m / r²”. Bir de bu kütle çekim kuvvetinin ay üzerindeki etkisini yazalım: “m x a”. Bu iki denkliği eşitleyelim. Buradan “G x M x m / r² = m x a” olur. Küçük m’ler gider ve “M = r² x a / G” olur. r ve G’yi bildiğimizden, dünyanın kütlesini hesaplayabiliriz. Aynı operasyonu güneş için, herhangi bir gezegenin hareketi için de yapabiliriz. Bu da analizin gücüdür.

L: Teorik dinamik yasalarının çok uzaklardaki gök cisimlerinin hareketlerinin doğasını gösterdiğini gördük. Peki bu yasalar, yaşadığımız dünyada da geçerli mi?

N: Tabii ki. Ay ile dünya arasındaki kütle çekimi ağaçtan kafamıza düşen bir elma ile yer kabuğu arasında da mevcut. Kimileri, benim yasalarımı kafama düşen o güzel elmadan feyiz alarak bulduğumu söyler. Belki de öyledir.

L: Elma ile yer arasındaki etkileşime geçmeden önce bir soru sormak istiyorum. Etki tepki yasasına göre güneşin dünyayı çektiği kadar dünya da güneşi çekmez mi? Güneş hareket etmez mi?

N: Evet doğru, aynı kuvvet güneşe de etki eder ama güneşin kütlesi çok büyük olduğundan kütle çekim kuvvetinin güneşe etkisi, büyük bir yörüngeden çok kendini çalkalayan bir insana benzer. Güneşin hareketinin analizini isteyen yapabilir, ben yapmayacağım.

L: O halde elma ile yer kabuğunun etkileşimine bakalım.

N: İyi fikir. Elmanın kütlesi m olsun ve iki kuvvet denkliğini de aynı denklemin içinde yazalım. “G x M x m / r² = m x a”. Buradaki r yer kürenin yarıçapı, M dünyanın kütlesi ve G evrensel çekim sabitidir. Bu denklemde m’lerin sadeleşeceği aşikardır ve denklemde bilmediğimiz tek değer olan a, elmanın ivmesi, “G x M / r²” olarak elimizde kalır. Bu a yaklaşık olarak 10 metre bölü saniye karedir, yani elmamız kafamıza düşene kadar hızını her saniye, 10 metre bölü saniye artırmaktadır. Şimdi kafama elma değil de bir gülle düştüğünü hayal edelim. Dilerim ki elmayla yırtarım. Güllenin kütlesi elmanın yaklaşık yüz katıdır, güllenin kütlesine “100 x m” diyelim. Yine iki kuvvet denkliğini yazalım: “G x M x 100 x m = 100 x m x a”. Bu seferde “100 x m”, güllenin kütlesi sadeleşecektir ve güllenin ivmesi 10 metre bölü saniye olacaktır. O halde şöyle bir sonuca varabiliriz; kütlesi ne olursa olsun bir cisim yere her zaman aynı ivmeyle düşer, bu ivmeye yer çekimi ivmesi diyorum ve simgesi artık g olsun.

L: O zaman, yer çekimi ivmesini kullanarak serbest düşmeye uğrayan cisimlerin herhangi bir andaki konumunu ve hızını belirleyebiliriz.

N: Bunu basit grafikler çizerek yapalım. Elimizdeki ivme-zaman grafiğinin altındaki alanı hesaplarsak hız değişimini buluruz. Hız değişiminin her saniye ivme kadar arttığına dikkat etmeli. Hız-zaman grafiğinin altındaki alanı bulursak da konum değişimini buluruz. Ama burada ilginç bir durum var. Konum değişimleri eşit zaman aralıklarında 1, 3, 5, 7, 9, 11, … oranlarıyla artıyor ve herhangi bir ana kadarki toplam yer değiştirmelerinin oranı, bize her zaman bir sayının karesini vermekte. 1+3 = 2², 1+3+5 = 3², … Doğanın işi.

L: Son olarak söylemek istediğiniz bir şeyler var mı?

N: Temel Öklid geometrisi ve mutlak bir mekan ve zaman algısıyla, sabitlenmiş bir kütleyle doğanın yapısının bahsettiğim eğilimlerde olduğu varsayımıyla kuyuya bir taş attım. Gözlem sonuçlarımı dayandırdığım bir hesap felsefesi geliştirdim: Kalkülüs. Yanıt verebildiğim doğa olaylarının veremediklerimin yanında bir zerrecik olduğunun farkındayım. Mekan ve zaman algımda yanlışlıklar olduğu söylenmekte. Derdim zaman ve mekan üzerine sözsel bir şeyler söylemekten öte, gözlemlere dayanan doğa olaylarını matematiksel bir dille kendimce uzaktan seyretmek. Hayatın anlamını kavramak değil. Bu noktadaki görüşümü belirttikten sonra, kesinliğine sonsuz inandığım bir şey söylemek istiyorum. Zaman, mekan ve kütlenin yapısı ne olursa olsun doğayı keşfetme yönünde şu andan itibaren bir yola girmiştir: Matematiksel analiz. Çok tekrar oldu ama bir daha söyleyelim; kalkülüs. Leibniz ile eş zamanlı ve birbirimizden bağımsız geliştirdiğimiz bu yöntem, şıklığı ve sadeliği anlamında geometri kadar albenisi olmasa da, işleri kolaylaştırması açısından sadece doğa felsefesinde değil pek sevmesem de toplumsal hayatta da büyük değişimlere yol açacaktır.

L: Biraz daha açıcı olabilir misiniz?

N: Dinamik yasalarının etki alanı o kadar geniş ki, bu yasalar kullanılarak üretilebilecek birçok alet savaşlarda ve ekonomik üretimde kullanılabilir. Yavaş yavaş bunlar kullanılmaya başlandı. Kömürle çalışan, birçok insanın yapabileceği işi tek başına yapabilen makineler üretilmekte. Bu ilerde dünyanın dengelerini alt üst edeceğe benziyor…

L: Bu açıklayıcı sohbet için çok teşekkür ederim.

N: Artık mekanımı biliyorsun, her zaman beklerim. Ayrıca bütün çalışmalarınızda başarılar dilerim.